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선형 변환
선형 관계
•
두 개 이상의 변수 사이에서 일정한 패턴이나 규칙에 따라 형성되는 관계
•
변수들 간에 직선의 형태로 표현될 수 있는 관계를 의미
•
두 변수 X와 Y간에 선형 관계가 있다면, X의 값이 변할 때 Y의 값도 일정한 비율로 변화하게 됨.
◦
이 비율은 변화하는 두 변수 사이의 상수 계수로 나타낼 수 있음
선형 관계특징
•
비례 관계
◦
두 변수 사이에 선형 관계가 있다면, 하나의 변수가 증가하면 다른 변수도 일정한 비율로 증가 혹은 감소함
•
직선 관계
◦
선형 관계는 그래프 상에서 직선의 형태로 표현
•
상수 비율
◦
두 변수 사이의 관계를 나타내는 상수 비율이 존재
상수 비율 ⇒ 기울기
선형 변환
•
벡터 공간 내에서 벡터를 다른 벡터로 mapping하는 것을 의미
매핑(mapping) : 벡터의 크기와 방향을 동시에 변화시키는 선형적인 변환
선형 변환 특성
1.
덧셈 보존성
•
벡터 u와 v에 대해서, 선형 변환 T가 적용된 결과인 T(u)와 T(v)의 합은 T(u+v)와 동일
2.
스칼라 곱 보존성
•
벡터 u에 대해서, 선형 변환 T가 적용된 결과인 T(u)에 스칼라 c를 곱한 것과 cT(u)가 동일
예제 : 2D 벡터의 선형 변환
•
선형 변환 행렬 A가 있을 때
◦
행렬과 벡터의 곱셈을 통해 변환을 수행
import numpy as np
# 선형 변환 행렬
transformation_matrix = np.array([[2, 0],
[0, 3]])
# 원본 벡터
original_vector = np.array([1, 2])
# 선형 변환 적용
transformed_vector = np.dot(transformation_matrix, original_vector)
print("원본 벡터:", original_vector) #[1 2]
print("변환된 벡터:", transformed_vector) #[2 6]
Python
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선형 변환과 행렬
선형 변환 행렬
•
선형 변환을 행렬로 나타내기 위해 변환 행렬을 사용
•
변환 행렬은 입력 벡터를 변환하여 출력 벡터를 새성하는 데 사용
•
행렬의 각 열은 변환 후의 각 차원을 표시
◦
여기서 A는 변환 행렬, 다음과 같은 형태를 가진다고 가정
선형 변환 예시
•
입력 벡터 v가 다음과 같이 주어졌다고 가정
•
행렬 A를 사용하여 이 입력 벡터를 변환하면 출력 벡터 Av가 생성
•
따라서, 입력 벡터 v는 행렬 A에 의해 변환되어 [0 6]으로 매핑
•
선형 변환을 표현하고 계산할 수 있으며 다양한 변환 수행 가능
