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벡터 공간(Vector Space)
닫혀있다 : “어떤 집합 S가 곱셈에 닫혀있다”라는 말은 S에서 임의의 두 원소를 뽑아서 곱한 값 또한 S에 포함되어 있다는 뜻
SubSpace내의 벡터들이 아무리 선형결합해서 새로운 벡터를 만들어 낸다 한들, 그건 다시 Subspace안의 또다른 어떤 벡터이다.
•
벡터들의 집합, 일정 조건을 만족하는 벡터들의 집합
•
벡터 공간은 다음 조건을 만족해야 한다.
1.
덧셈에 대한 닫힘(Closure under Addition): 모든 벡터 𝑢와 𝑣에 대해, 𝑢+𝑣도 벡터 공간에 속해야 한다. = 두 벡터의 합이 같은 벡터공간에 속한다.
2.
스칼라 곱에 대한 닫힘(Closure under Scalar Multiplication): 모든 스칼라 𝑐와 벡터 𝑣에 대해, 𝑐𝑣도 벡터 공간에 속해야 한다. = 벡터와 스칼라의 곱이 같은 벡터공간에 속한다.
3.
영벡터(Zero Vector) 존재: 0+𝑣=𝑣가 모든 벡터 𝑣에 대해 성립해야 한다.
영백터(Zero Vector) : 모든 성분이 0인 벡터, 덧셈에 대한 항등원
항등원 : 임의의 연산에서, 어떤 수에 대하여 연산을 한 결과가 처음의 수와 같도록 만들어 주는 수
함수에 어떤 값을 넣어도 자기 자신이 나오는 함수
a + e = a ⇒ e = 0, 덧셈에 대한 항등원은 0이 된다.
10 + e = 10 ⇒ e = 0
역원 : 항등원이 나오게 하는 값
a + x = e = 0 ⇒ a + x = 0 ⇒ x = -a
10 + x = 0 ⇒ x = -10
4.
가역 덧셈(역원: Additive Inverse) 존재: 모든 벡터 𝑣에 대해, 𝑣와 더해져서 영벡터가 되는 벡터 −𝑣가 존재해야 한다. 임의의 벡터에 대해 그 벡터와 더해 0이 되는 벡터가 존재합니다.
부분공간(Subspace)
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벡터 공간의 일부, 그 자체로 벡터 공간의 성질을 모두 만족하는 집합
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부분 공간 = 큰 벡터공간의 하위 집합 + 그 자체로 완전한 벡터공간의 성질을 지님
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부분 공간은 다음 조건을 만족해야 한다.
1.
영벡터 포함: 부분공간에는 영벡터가 포함되어야 합니다.
2.
덧셈에 대해 닫힘: 부분공간의 두 벡터의 합이 다시 부분공간에 속해야 합니다.
3.
스칼라 곱셈에 대해 닫힘: 부분공간의 벡터와 스칼라의 곱이 다시 부분공간에 속해야 합니다.
•
Subspace H는 선형 결합에 닫혀있는 Rⁿ의 부분집합
벡터 공간과 부분공간의 차이
•
모든 부분공간은 벡터공간이지만, 모든 벡터공간이 부분공간인 것은 아니다.
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부분공간은 항상 더 큰 벡터공간의 일부로 정의되지만, 벡터공간은 그 자체로 완전한 구조를 가진다.
•
예시를 통한 설명
◦
벡터공간: R³ (3차원 유클리드 공간)
해당 공간의 모든 벡터는 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있다.
◦
부분공간: R³의 부분공간은 z=0인 평면 xy 평면, 즉 {(x,y,0) | x,y∈R}이 될 수 있다.
해당 평면은 R³의 부분집합이지만 그 자체로 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있어 부분공간이 된다.
기저(basis)
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해당 공간을 생성하는데 필요한 "기초(Basic): 최소 단위" 벡터들의 집합
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부분공간 S에 대한 기저(basis)
◦
Rⁿ의 부분공간 S에 대하여 S에 속하는 벡터들이 다음 조건을 만족하는 집합
1.
S를 생성
2.
일차독립
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벡터 공간 S에 대한 기저(basis)
◦
어떤 벡터 공간을 선형(S) 생성하는 선형독립인 벡터들을 의미
◦
벡터 공간 V의 기저는 다음 조건을 만족해야 한다.
1.
선형 독립(Linear Independence): 기저 벡터들은 선형적으로 독립적이어야 한다.
⇒ 어떤 기저 벡터도 다른 기저 벡터의 선형 조합으로 표현되지 않아야 한다.
2.
생성 가능(Generating): 기저 벡터들의 선형 조합으로 벡터 공간 𝑉의 모든 벡터를 생성할 수 있어야 한다.
⇒ 모든 𝑉 내의 벡터는 기저 벡터들을 조합하여 표현 가능해야 한다.
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2차원 평면의 기저는 다음 두 벡터로 구성될 수 있다.
◦
𝑒₁과 𝑒₂는 선형적으로 독립적이며, 이 두 벡터의 선형 조합으로 2차원 평면 내의 어떤 벡터도 표현 가능
•
R³ 벡터공간의 기저:
◦
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
◦
이 세 벡터는 R3 내의 모든 벡터를 나타낼 수 있다.
◦
차원의 수: 3
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R³ 부분공간 z=0 평면의 기저:
◦
(1,0,0), (0,1,0)
◦
이 두 벡터는 z=0 평면 내의 모든 벡터를 나타낼 수 있다.
◦
차원의 수 : 2
좌표벡터
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S = {v₁, v₂, … v_n} 이 벡터 공간의 V의 기저이면 V에 속하는 모든 벡터 v는 적당한 실수 a₁, a₂, … a_n에 대해 v = a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n으로 나타낼 수 있다.
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이 때 (a₁, a₂, … a_n)을 기저 S에 대한 v의 좌표벡터(상대좌표, 좌표행렬)이라고 한다.
차원(Dimension)
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벡터 공간 V가 n개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는다면, V의 차원을 n이라고 표현한다.
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표시 방법 : V의 차원 = dimV
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벡터 공간 V의 기저의 원소개수 = 벡터공간 V의 선형 독립이 되는 최대 개수 = 벡터공간의 V의 차원 = dimV
∩ : 교집합
